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LOXODROMIE - ORTHODROMIE
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"La ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre "
Citation maintes fois entendue mais qu'en est-il réellement ?

Ce précepte bien connu en géométrie classique (euclidienne) se généralise.
En géométrie elliptique, deux "droites" sont toujours sécantes. Sur une sphère, le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est une partie d'un grand cercle. Une "droite" est alors définie comme un "grand cercle". Deux "droites" distinctes se coupent " en deux points diamétralement opposés qui n'en forment qu'un pour cette géométrie. On retrouve ainsi la propriété : "par deux points distincts passe une seule droite". On peut aussi définir une droite comme un cercle de rayon infini. Cette définition incompatible avec celle issue de l'algèbre linéaire, nous amène à parler de
"géodésiqueEn géométrie, une géodésique désigne la généralisation d'une ligne droite sur une surface. En particulier, le chemin le plus court, ou l'un des plus courts chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace pourvu d'une métrique est une géodésique."  pour éviter toute confusion.


ORTHODROMIE

L'orthodromie désigne le plus court chemin entre deux points d'une sphère, c'est-à-dire le plus petit des deux arcs de grand cercle qui passe par ces deux points. Pour les navigateurs, une route orthodromique désigne la route la plus courte à la surface du globe terrestre entre deux points. Dans la vie courante, cette plus courte distance entre deux points sur Terre est désignée sous le nom de « distance à vol d'oiseau » entre ces deux points.

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LOXODROMIE

Une loxodromie est une courbe qui coupe les méridiens d'une sphère sous un angle constant. C'est la trajectoire suivie par un navire qui suit un cap constant.
Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite mais ne représente pas la distance la plus courte entre deux points.
La route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un grand cercle de la sphère. 


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Comparaison entre les routes loxodromique (jaune) et orthodromique (vert) entre Paris et New-York :
1 - sur la sphère terrestre.
2 - sur une carte en projection de Mercator


Visualisation Loxodromie-Orthodromie (Univ-Nantes Geneviève Tulloué)
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Loxodromie – courbe bleue
Orthodromie –courbe rouge

Notions de route et de cap
En navigation, la route est l'angle entre la direction suivie par un mobile, et la direction du nord géographique (route vraie Rv) ou du nord magnétique (route magnétique Rm). Cet angle est exprimé en degrés, de 0 à 360°, dans le sens des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique inverse).
La route est égale au cap en l'absence de dérive.
*"Autrefois, cet angle était exprimé par rapport aux points cardinaux en quarts de la rose du compas (ou rose des vents). Ainsi, une route Est quart NE, est égale à 079° (90°-11,25° = 78,75°).
Les 32 directions du compas s'appelaient  des rhumbs. Elles fractionnaient la rose des vents tous les 11°15'.
Naviguer c'était suivre un rhumb ou une loxodromie. Les géographes avaient calculé, pour les pilotes, les parcours en longitude et en latitude des sept loxodromies d'un quart de la sphère terrestre, les trois autres quarts se déduisant du premier sans difficulté. Il n'existait que sept loxodromies et non pas huit car suivre l'équateur ou le méridien faisait parcourir une orthodromie et non une loxodromie.
Le rhumb n°1 partant de l'équateur s'élevait en latitude coupant tous les méridiens sous un angle invariable de 11°15'. Le rhumb n°2 faisait de même mais sous un angle de 22°30'. Ces loxodromies, parcourues de bout en bout, auraient fait spiraler le voyageur de son point de départ jusqu'aux abords d'un pôle où il aurait été captif, en vertu du principe même de la loxodromie.
Le premier essai pour tracer des rhumbs sur une carte remonte à Pedro Nunes en 1537 et ce n'est qu'en 1695 que l'astronome Halley résoudra le problème, après la découverte des logarithmes par Neper (1614) et la découverte par Leibniz (1676) du calcul différentiel." [© P. Gagnaire]



Distances orthodromique et  loxodromique
f_ortho
Lorsque les deux points du globe terrestre sont situés sur un même méridien (c'est-à-dire situés à la même longitude), l'orthodromie est portée par ce méridien car tous les méridiens sont des grands cercles.
Lorsque les deux points du globe terrestre sont situés sur un même parallèle (c'est-à-dire situés à la même latitude) l'orthodromie n'est pas portée par ce parallèle, sauf si ce parallèle est lui-même un grand cercle, c'est-à-dire à l'équateur.

Le parcours le long d'une orthodromie ne se faisant pas à cap constant, on découpe en général celle-ci en tronçons plus courts où l'on garde un cap constant, propre à chaque tronçon.
Le cap du premier tronçon est l'angle Ro exprimé en degrés entre le Nord et la tangente en A à l'orthodromie, compté dans le sens des aiguilles d'une montre. Un cap de 0° correspond au Nord, 90° à l'Est, - 90° ou 270° à l'Ouest.

f_loxo

- pour de faibles distances, les trajectoires sont similaires,
– pour de grandes distances :
            – la loxodromie tend vers le pôle Nord ou Sud (phénomène "d'enroulement"),
            – l'orthodromie fait le tour de la terre
Sur une carte de Mercator, les méridiens sont parallèles. Par conséquent un chemin loxodromique est un segment de droite.

doigtCalculs
Exemple :
Point de départ : Paris            latitude :  48° 51' 36" N (+48.86)      longitude : 2° 20' 24" E (+2.34)
Point d'arrivée :  New-York   latitude :  40° 43' 48" N (+40.73)      longitude : 74° W (-74)             Résultats :
 Distance  :     orthodromie : 5830 km       loxodromie : 6071 km
Cap initial :     orthodromie : -68,2°           loxodromie : -98,5°  
L'écart de distance est de 241 km et l'écart de cap initial est significatif (30°).

Remarques : on peut observer de légères différences dans les résultats selon les outils utilisés. Ces différences sont variables selon le modèle (datum) de représentation de la Terre et de la valeur du rayon retenu pour le modèle sphérique. L'outil proposé prend R = 6366.7521 km